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lunes, 16 de octubre de 2017

Cubo Rubik

Solución sencilla del cubo de Rubik


Este método consiste en resolver el cubo de Rubik por capas, primero la superior, luego la central, y por último la inferior. Con un poco de práctica el cubo de Rubik se puede armar en menos de 2 minutos , y con mucha práctica incluso se puede bajar de 30 segundos. Además este tutorial está complementado con unas animaciones que podéis mover con el ratón y que mostrarán en todo momento los movimientos que tendréis que realizar. Pero como digo, estas animaciones son un complemento, si no podéis verla porque vuestro dispositivo/ordenador no acepta java, no tendréis ningún problema en seguir el tutorial.


Para conseguir buenos tiempos, hace falta un cubo de Rubik bueno. Os recomiendo el dayan 2 guhon. También es recomendable tener algún lubricante (no vale uno cualquiera).

Dividimos la solución en 7 pasos:

Paso 1: cruz superior

Este es el paso más sencillo, solo tenemos que crear una cruz en la cara superior de nuestro cubo de Rubik, de forma que los colores también coincidan en las capas anexas. Observad que el color de cada cara lo va a fijar el centro de esta. Os recomiendo intentarlo por vuestra cuenta, pero en cualquier caso la solución aquí.





Paso 2: completar la capa superior



Para terminar la primera capa de nuestro cubo de Rubik, basta con colocar los cuatro vértices superiores en su sitio. Paso sencillo, si no os sale pulsad aquí y podréis ver como se hace.





Paso 3: completar la segunda capa



Para completar la segunda capa solo tenemos que colocar en su sitio las 4 aristas (piezas con 2 pegatinas) de esta. Este paso es un poco más difícil de deducir, pero de nuevo puedes ver la solución aquí para ver el método de resolución.




Paso 4: cruz en la última cara



Para atacar mejor la última capa, giremos todo el cubo. Ahora lo que debemos hacer es que en la última cara quede dibujada una cruz. A diferencia del Paso 1, ahora solo nos centramos en lo que es la cara, dándonos igual las caras anexas. Para ver la solución pulsa aquí.




Paso 5: extender la cruz a la última capa



Ahora sí que nos vamos a preocupar por las caras anexas. Por ello vamos a hacer que la cruz que formamos en el paso anterior tenga sus colores laterales coincidiendo con las caras anexas. Pulsa aquí como siempre para acceder a la solución.




Paso 6: colocar los últimos vértices (sin orientar)



Este paso consiste en colocar los vértices de la última capa en su sitio aunque posiblemente queden giradas (ver dibujo). En nuestro dibujo se ve que cada esquina está en su sitio aunque tres de ellas necesitan un giro para que estén correctamente situadas. Para saber como llegar hasta esto pulsa aquí.



Paso 7: terminar el cubo

¡Por fin!, ¡la última etapa!. No cantéis victoria, solo queda un paso pero este es el realmente complicado. Tenemos que girar las esquinas para completar el cubo de Rubik. Mucho cuidado con este paso y leed bien las instrucciones. Un fallo os puede fastidiar todo el cubo y entonces tendríais que empezar de nuevo (vaya gracia ¿no?). Así que cuidado. Una vez que terminéis el cubo podréis gritar ¡HURRA! Pincha aquí para acceder al último paso.



Descarga el Juego

Cubo Rubik

viernes, 5 de mayo de 2017

Torre de Hanoi

Torres de Hanói
Si pasaste por la lección acerca de recursividad, entonces estás listo para ver otro problema en donde hacer recursividad varias veces realmente ayuda. Se llama las Torres de Hanói. 

Te dan un conjunto de tres varillas y n discos, con cada disco de un tamaño diferente. Llamemos a las varillas A, B y C, y numeremos los discos desde 1, el disco más pequeño, hasta nnn, el disco más grande. Al principio, todos los nnn discos están en la varilla A, en orden de tamaño decreciente de la parte inferior a la parte superior, de modo que el disco nnn está en la parte inferior y el disco 1 está en la parte superior. Aquí está cómo se ven las Torres de Hanói para n = 5n=5n, equals, 5 discos:

Configuración inicial de las Torres de Hanoi con 5 discos.

El objetivo es pasar todos los nnn discos de la varilla A a la varilla B:

Configuración final de las Torres de Hanoi con 5 discos

¿Suena fácil, verdad? No es tan sencillo, porque tienes que obedecer dos reglas:

1. Puedes mover solamente un disco a la vez.
2. Ningún disco puede estar encima de un disco más pequeño. Por ejemplo, si el disco 3 está en una varilla, entonces todos los discos debajo del disco 3 deben tener números mayores que 3.

Puedes pensar que este problema no es terriblemente importante. ¡Al contrario! Cuenta la leyenda que en algún lugar de Asia (Tíbet, Vietnam, India; escoge en Internet qué leyenda te gusta), los monjes están resolviendo este problema con un conjunto de 64 discos y, según la historia, los monjes creen que una vez que terminen de mover todos los 64 discos de la varilla A a la varilla B de acuerdo con las dos reglas, el mundo se acabará. ¿Si los monjes están en lo correcto, deberíamos entrar en pánico?

Primero, vamos a ver cómo resolver el problema de manera recursiva. Vamos a empezar con un caso realmente sencillo: un disco, es decir, n = 1n=1n, equals, 1. El caso de n = 1n=1n, equals, 1 será nuestro caso base. Siempre puedes mover el disco 1 de la varilla A a la varilla B, porque sabes que cualquier disco debajo debe ser mayor. Y no hay nada especial acerca de las varillas A y B. Puedes mover el disco 1 de la varilla B a varilla C si lo deseas, o de la varilla C a la varilla A, o de cualquier varilla a cualquier varilla. Resolver el problema de las Torres de Hanoi con un disco es trivial, y requiere mover el único un disco solamente una vez.

¿Qué pasa con dos discos? ¿Cómo resuelves el problema cuando n = 2n=2n, equals, 2? Puedes hacerlo en tres pasos. Aquí está cómo se ve al principio:

Configuración inicial de las Torres de Hanói con 2 discos

Primero, mueve el disco 1 de la varilla A a la varilla C:

Movimiento 1 de las Torres de Hanói, 2 discos
Observa que usamos la varilla C como una varilla libre, un lugar en donde poner el disco 1 para que podamos llegar al disco 2. Ahora que el disco 2 (el disco inferior) está expuesto, muévelo a la varilla B:

Movimiento 2 de las Torres de Hanoi, 2 discos
Por último, mueve el disco 1 de la varilla C a la varilla B:

Movimiento 3 de las Torres de Hanói, 2 discos

Esta solución toma tres pasos, y una vez más no hay nada especial acerca de cómo mover los dos discos de la varilla A a la varilla B. Puedes moverlos de la varilla B a la varilla C al usar la varilla A como la varilla libre: mueve el disco 1 de la varilla B a la varilla A, luego mueve el disco 2 de la varilla B a la varilla C y termina por mover el disco 1 de la varilla A a la varilla C. ¿Estás de acuerdo que puedes mover los discos 1 y 2 de cualquier varilla a cualquier varilla en tres pasos? (Di que "sí").

Descargar

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Este contenido es una colaboración de los profesores de Dartmouth Computer Science Thomas Carmen y Devin Balkcom, con el equipo de contenidos de computación de Khan Academy. El contenido está bajo licencia CC-BY-NC-SA.

lunes, 24 de abril de 2017

Carlo Frabetti


Autor italiano, Carlo Frabetti nació en Bolonia en 1945, si bien reside en España desde los ocho años y escribe habitualmente en español. Escritor, matemático y guionista.

Antes de dedicarse a la escritura tuvo varios empleos distintos, como socorrista, profesor de artes marciales o traductor de poesía italiana. También se especializa en divulgación científica (fue director de la sección de pasatiempos lógicos para la revista Algo).

Ha creado y dirigido diversos programas de televisión, como La bola de
cristal, El duende del globo,  Ni a tontas ni a locas o Colorín Colorado. En 1998 obtuvo el Premio Jaén de Narrativa Infantil y Juvenil por su obra El gran juego, y en el 2007, el Premio de Literatura Infantil Barco de Vapor por Calvina.

Frabetti Es miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, presidente de la Asociación Contra la Tortura, miembro fundador de la Alianza de Intelectuales Antiimperialistas, y es Socio de la Asociación de Escritores y Artistas del Orbe (ASEADLO).

También es colaborador de las publicaciones Gara, InSurGente, y otros medios alternativos como Rebelión o La Haine.

Aunque es más conocido por sus obras infantiles y juveniles, es un prolífico autor de obras para adultos (La reflexión y el mito, 1990; El Libro Infierno, 2002; Contra el Imperio, 2002; etc.).

Uno de sus textos leído en escuelas por niños y jóvenes es MALDITAS MATEMÁTICAS.

sinopsis

Malditas Matemáticas
Alicia odia la matemática. De hecho le parece que aprenderla es perder el tiempo. Un día, se le aparece Lewis Carrol, este le habla, hasta que la niña siguiéndolo, llega al País de los Números. Allí se ve envuelta en varios problemas y deberá recurrir a la Matemática
para resolverlos con ayuda de este personaje. Al final descubre que las matemáticas son muy útiles. Es una novela didáctica, que nos enseña las más divertidas operaciones matemáticas, es recomendable por una gran metodología para la enseñanza de las matemáticas. 
Alicia tiene 11 años cuando le suceden estos hechos imaginarios. Este es uno de los mejores libros de Carlo Frabetti; Alicia recorrió esos mundos pero con ayuda de algunos integrantes del cuento verdadero Alicia en el país de las maravillas; sólo que con números cambia el cuento. 
Es un cuento para que la gente aprenda que las matemáticas son divertidas y a la vez muy importantes. Su editorial es igual a la de sus otros libros.

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domingo, 23 de abril de 2017

Estándares Básicos de Competencia

Los estándares básicos de competencias, objeto de esta publicación, son una de esas herramientas en la cual viene trabajando el Ministerio desde 2002 a través de una movilización nacional con el apoyo decidido de las facultades de Educación del país a través de Ascofade, de maestros adscritos a instituciones de educación básica y media, asociaciones académicas y científicas, y secretarías de educación. 

Su formulación, validación y socialización se han constituido en un trabajo exigente y riguroso que consulta el saber pedagógico, la práctica escolar, la innovación e investigación educativa y pedagógica, el análisis cuidadoso y crítico de lo que reporta la evaluación, el avance del conocimiento disciplinar y su didáctica, la manera como se formularon y funcionan los estándares en otros países y los referentes con los que cuenta el sistema educativo nacional en su conjunto , entre ellos los lineamientos curriculares para las áreas.

La formulación de estándares básicos de competencias, cuyo punto de partida fueron los lineamientos, se une a esta tarea del Ministerio por establecer unos referentes comunes que, al precisar los niveles de calidad a los que tienen derecho todos los niños, niñas y jóvenes de nuestro país –independientemente de la región a la cual pertenezcan–, orienten la búsqueda de la calidad de la educación por parte de todo el sistema educativo (Ministerio de Educación, Secretarías, instituciones, actores escolares). 

Un estándar es un criterio claro y público que permite juzgar si un estudiante, una institución o el sistema educativo en su conjunto cumplen con unas expectativas comunes de calidad; expresa una situación deseada en cuanto a lo que se espera que todos los estudiantes aprendan en cada una de las áreas a lo largo de su paso por la Educación Básica y Media, especificando por grupos de grados (1 a 3, 4 a 5, 6 a 7, 8 a 9, y 10 a 11) el nivel de calidad que se aspira alcanzar. En este orden de ideas, los estándares básicos de competencias se constituyen en una guía para:

el diseño del currículo, el plan de estudios, los proyectos escolares e incluso el trabajo de enseñanza en el aula; • la producción de los textos escolares, materiales y demás apoyos educativos, así como la toma de decisión por parte de instituciones y docentes respecto a cuáles utilizar; 

• el diseño de las prácticas evaluativas adelantadas dentro de la institución; 

• la formulación de programas y proyectos, tanto de la formación inicial del profesorado, como de la cualificación de docentes en ejercicio. Igualmente, los estándares se constituyen en unos criterios comunes para las evaluaciones externas. Los resultados de estas, a su vez, posibilitan monitorear los avances en el tiempo y diseñar estrategias focalizadas de mejoramiento acordes con las necesidades de las regiones e, incluso, de las instituciones educativas.


viernes, 21 de abril de 2017

Derechos Básicos de Aprendizaje

¿Qué son los Derechos Básicos de Aprendizaje? 

Son un conjunto de saberes fundamentales dirigidos a la comunidad educativa que al incorporarse en los procesos de enseñanza promueven condiciones de igualdad educativa a todos los niños, niñas y jóvenes del país. Los Derechos Básicos de Aprendizaje se plantean para cada año escolar de grado primero a grado once, en las áreas de lenguaje y matemáticas y se han estructurado en concordancia con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias (EBC). 

En ese sentido, plantean una posible ruta de aprendizajes para que los estudiantes alcancen lo planteado en los EBC para cada grupo de grados. Los DBA por sí solos no constituyen una propuesta curricular puesto que estos son complementados por los enfoques, metodologías, estrategias y contextos que se definen en los establecimientos educativos, en el marco de los Proyectos Educativos Institucionales y se concretan en los planes de área. 

Los Derechos Básicos de Aprendizaje: Son una selección de saberes claves que indican lo que los estudiantes deben aprender en cada grado escolar desde 1º hasta 11º para las áreas de lenguaje y matemáticas. 

● Dan cuenta del desarrollo progresivo de algunos conceptos a lo largo de los grados. 

● Presentan ejemplos para aclarar los enunciados. Estos ejemplos no se plantean como actividades que los docentes deban realizar en sus aulas de clase. 

● Son referentes para la planeación de aula. De esta manera, las actividades en el aula pueden e idealmente pueden involucrar varios DBA de un grado, para que estos se alcancen gradualmente a lo largo del grado. ¿Cómo se estructuran? Para cada grado se cuenta con un listado de Derechos Básicos de Aprendizaje por área (Lenguaje y matemáticas). 





Lineamientos Curriculares de Matemáticas

2. Referentes Curriculares

2.3 Una nueva visión del conocimiento matemático en la escuela

En los últimos años, los nuevos planteamientos de la filosofía de las matemáticas, el desarrollo de la educación matemática y los estudios sobre sociología del conocimiento, entre otros factores, han originado cambios profundos en las concepciones acerca de las matemáticas escolares.

Ha sido importante en este cambio de concepción, el reconocer que el conocimiento matemático, así como todas las formas de conocimiento, representa las experiencias de personas que interactúan en entornos, culturas y períodos históricos particulares y que, además, es en el sistema escolar donde tiene lugar gran parte de la formación matemática de las nuevas generaciones y por ello la escuela debe promover las condiciones para que ellas lleven a cabo la construcción de los conceptos matemáticos mediante la elaboración de significados simbólicos compartidos. 

El conocimiento matemático en la escuela es considerado hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del niño y del joven. Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual. Su valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. 

La tarea del educador matemático conlleva entonces una gran responsabilidad, puesto que las matemáticas son una herramienta intelectual potente, cuyo dominio proporciona privilegios y ventajas intelectuales. 

Estas reflexiones han dado lugar a que la comunidad de educadores matemáticos haya ido decantando una nueva visión de las matemáticas escolares basada en: l Aceptar que el conocimiento matemático es resultado de una evolución histórica, de un proceso cultural, cuyo estado actual no es, en muchos casos, la culminación definitiva del conocimiento y cuyos aspectos formales constituyen sólo una faceta de este conocimiento. 

Valorar la importancia que tienen los procesos constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas.

Considerar que el conocimiento matemático (sus conceptos y estructuras), constituyen una herramienta potente Ministerio de Educación Nacional para el desarrollo de habilidades de pensamiento. 

Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe dominar todo ciudadano.

Comprender y asumir los fenómenos de transposición didáctica. 

Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías tanto en los énfasis curriculares como en sus aplicaciones. 

Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones problemáticas. En primer lugar, para aceptar que el conocimiento matemático es el resultado de una evolución histórica se requiere profundizar en el análisis de este proceso, análisis que transforma el conocimiento de áridos hechos y destrezas en conocimiento ansiosa y tesoneramente buscado, construido por seres humanos que se corren arduos y largos caminos, esto es, la perspectiva histórica conlleva a concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabada ni constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz de corregir sus errores; a su vez este análisis permite alcanzar un conocimiento más profundo de la matemática misma ya que en el proceso histórico los objetos matemáticos aparecen en su verdadera perspectiva. 

El conocimiento de la historia proporciona además una visión dinámica de las matemáticas y permite apreciar cómo sus desarrollos han estado relacionados con las circunstancias sociales y culturales e interconectados con los avances de otras disciplinas, lo que trae consigo importantes implicaciones didácticas: posibilidad de conjeturar acerca de desarrollos futuros, reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de las dificultades para la construcción de nuevo conocimiento. Es importante resaltar que el valor del conocimiento histórico al abordar el conocimiento matemático escolar no consiste en recopilar una serie de anécdotas y curiosidades para presentarlas ocasionalmente en el aula.

El conocimiento de la historia puede ser enriquecedor, entre otros aspectos, para orientar la comprensión de ideas en una forma significativa, por ejemplo, en lugar de abordar los números enteros desde una perspectiva netamente estructural a la cual se llegó después de trece siglos de maduración, podrían considerarse aquellos momentos culminantes en su desarrollo para proporcionar aproximaciones mas intuitivas a este concepto; para poner de manifiesto formas diversas de construcción y de razonamiento; para enmarcar temporal y especialmente las grandes ideas y problemas junto con su motivación y precedentes y para señalar problemas abiertos de cada época, su evolución y situación actual

Descarga

Lineamientos Curriculares Matemática

.

¿Por qué enseñar inglés en Colombia?

Nunca ha habido una época en la que tantas naciones necesitaran hablarse entre sí. Nunca ha habido una época en la que tanta gente haya querido viajar a tantos lugares. … Y nunca ha sido más urgente la necesidad de una lengua global. D. Crysta.

El mundo actual se caracteriza por la comunicación intercultural, por el creciente ritmo de los avances científicos y tecnológicos y por los procesos de internacionalización. Estas circunstancias plantean la necesidad de un idioma común que le permita a la sociedad internacional acceder a este nuevo mundo globalizado. La educación permite el desarrollo humano y ofrece respuestas a los ciudadanos que conforman la sociedad, en los diversos momentos de la historia. Particularmente, en Colombia, la Ley General de Educación establece como uno de sus fines “El estudio y la comprensión crítica de la cultura nacional y de la diversidad étnica y cultural del país, como fundamento de la unidad nacional y de su identidad”. 


En la misma ley se fijan como objetivos de la Educación Básica y Media “La adquisición de elementos de conversación y de lectura, al menos en una lengua extranjera” y “La comprensión y capacidad de expresarse en una lengua extranjera”. Teniendo en cuenta esta reglamentación y haciendo uso de su autonomía, la gran mayoría de las instituciones educativas colombianas ha optado por ofrecer a sus estudiantes la oportunidad de aprender el inglés como lengua extranjera. Con ello pretenden brindar un lenguaje común que permita a niños, niñas y jóvenes mayor acceso al mundo de hoy. Este hecho se ve confirmado por los datos suministrados por el Icfes respecto a las pruebas del 2004, según los cuales el noventa y nueve por ciento de los estudiantes seleccionaron el inglés en el examen de estado.

Colombia Bilingüe

Derechos Básicos de Aprendizaje y Currículo Sugerido de Inglés: 
Grados 6º a 11º

Los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) y el Currículo Sugerido de Inglés se construyeron con el objetivo de fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta lengua en cada uno de los colegios oficiales del país. Los DBA y el currículo sugerido proponen un camino para ayudar a los estudiantes, de grados 6º a 11º de las instituciones oficiales del país, a alcanzar un nivel Pre intermedio B1 durante sus estudios en secundaria.
En este espacio virtual usted podrá descargar, consultar y utilizar estas herramientas que hacen parte integral de las estrategias implementadas por el programa Colombia Bilingüe del Ministerio de Educación Nacional en el desarrollo de materiales, la formación y el acompañamiento a los docentes de inglés.






miércoles, 19 de abril de 2017

Malditas Matemáticas - Carlos Frabetti

Sinopsis.

Alicia odia la matemática. De hecho le parece que aprenderla es perder el tiempo. Un día, se le aparece Lewis Carrol, este le habla, hasta que la niña siguiéndolo, llega al País de los Números. Allí se ve envuelta en varios problemas y deberá recurrir a la Matemática para resolverlos con ayuda de este personaje. Al final descubre que las matemáticas son muy útiles. Es una novela didáctica, que nos enseña las más divertidas operaciones matemáticas, es recomendable por una gran metodología para la enseñanza de las matemáticas. Alicia tiene 11 años cuando le suceden estos hechos imaginarios. Este es uno de los mejores libros de Carlo Frabetti; Alicia recorrió esos mundos pero con ayuda de algunos integrantes del cuento verdadero Alicia en el país de las maravillas; sólo que con números cambia el cuento. Es un cuento para que la gente aprenda que las matemáticas son divertidas y a la vez muy importantes. Su editorial es igual a la de sus otros libros.

Capítulo 14

Los conejos de Fibonacci

— ¡Un conejito! —exclamó Alicia.
— Una conejita —precisó el matemago, mientras depositaba suavemente en el suelo al pequeño roedor blanco—. Dentro de un mes será adulta.

Dicho esto, el anciano dio una palmada y la conejita aumentó varias veces de tamaño.

— ¿Ha pasado un mes por arte de magia? —preguntó la niña, atónita.
— Para nosotros no, no te preocupes. He acelerado el tiempo vital de la coneja para no tener que esperar tanto. Para ella sí que ha pasado un mes: ahora es adulta y está preñada, y dentro de otro mes tendrá una cría.

— ¡Quiero verla! —pidió Alicia.
— De acuerdo.

El matemago dio otra palmada, y junto a la coneja apareció otra tan pequeña como la primera al salir
del gorro.

— ¿Dentro de otro mes también será adulta y estará preñada?
— Sí, y además su madre tendrá otra cría, pues desde que se hacen adultas todas las conejas tienen una cría cada mes.

El matemago dio otra palmada. La cría creció y junto a su madre apareció otra conejita.

—No me lo digas: dentro de un mes la nueva conejita crecerá y las otras dos
conejas tendrán una cría cada una —dijo Alicia.
—Exacto —confirmó el anciano. Dio otra palmada y sucedió lo que la niña había
previsto: por el suelo correteaban tres conejas adultas y dos crías. Otra palmada
más: cinco adultas y tres crías. Y otra: ocho adultas y cinco crías...

c
C
Cc
CCc
CCCcc
CCCCCccc
CCCCCCCCccccc

— ¡Bravo! —aplaudió la niña, pero se contuvo de pronto—. Menos mal que mis palmadas no hacen crecer y multiplicarse a las conejitas, porque si no se habría llenado la habitación.
— Pues sí, la serie crece bastante deprisa. Vamos a verla: al principio había un solo ejemplar; al cabo de un mes, seguía habiendo uno; al cabo de dos meses, ya eran dos; al cabo de tres meses, tres...
— Luego cinco —prosiguió Alicia—, luego ocho, y ahora ya son trece.

A medida que el matemago y la niña nombraban los números, emitían bocanadas de humo purpúreo que se convertían en cifras y se quedaban flotando en el aire ordenadamente.

1 1 2 3 5 8 13

—Como ves —señaló el matemago—, cada número es la suma de los dos anteriores: 2=1 + 1, 3=1+2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8...
—Si das otra palmada, habrá 21 conejitas, y luego 34, y luego 55, 89...
—Exacto. Esta serie la descubrió Leonardo de Pisa, un gran matemático italiano del siglo XII, más conocido como Fibonacci. Entre otras cosas, fue él quien impuso en Europa el sistema de numeración árabe, que ya se conocía en España, y esta interesantísima serie se le ocurrió precisamente mientras pensaba en la reproducción de los conejos.

— ¿Y para qué sirve?
— Tiene importantes aplicaciones, y aparece a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, el crecimiento y la ramificación de muchas plantas se produce de acuerdo con esta serie u otras similares, pues en realidad hay infinitas series de Fibonacci.
— ¿Cómo son las otras?
— Si te fijas bien, la serie viene determinada por los dos primeros números, puesto que el tercero es la suma de ellos dos, el cuarto es el tercero más el segundo, y así sucesivamente. Si en vez de empezar con dos unos, partimos de otra pareja de números, obtenemos una serie distinta.

Por ejemplo:
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110...
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76...
3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131...

— ¿Y el truco para sumar deprisa que me ibas a enseñar?
— Ahora mismo. Elige dos números de una cifra y escríbelos uno encima de otro.
— El 4 y el 2 —dijo Alicia, y las dos cifras quedaron flotando en el aire.

4
2
—Ahora escribe debajo la suma de ambos.
—El 6 —dijo la niña, y la cifra de humo ocupó dócilmente su lugar en la columna.

4
2
6

—Ahora, debajo, la suma de 2 y 6.
—Es una serie de Fibonacci —dijo Alicia.
—Efectivamente. Te estoy haciendo el truco como si no conocieras esas series, pero puesto que ya las dominas, te diré simplemente que escribas, en columna, los diez primeros términos de la serie de Fibonacci que empieza con los números 4 y 2.
—De acuerdo...

4
2
6
8
14
22
36
58
94
152

—Bien, pues la suma de esos diez números es 396 —dijo el matemago en cuanto Alicia hubo terminado la lista.
—Has tenido tiempo de ir sumándolos mientras yo los escribía en el aire.
—Es cierto, pero no lo he hecho. He hallado el resultado de forma instantánea, y tú también podrás hacerlo en cuanto te explique el truco.
— ¿Cuál es?
—Es muy sencillo: si llamamos a y b a los dos primeros números, la serie será ésta —dijo el matemago, pasando las páginas de su libro y mostrándole una columna de
expresiones algebraicas.

a
b
a + b
a + 2b
2a + 3b
3a + 5b
5a + 8b
8a + 13b
13a + 21b
21a + 34b

—No me gusta nada eso de mezclar letras y números —comentó Alicia—, pero esa lista está bastante clara —admitió.
—Sumando todas las aes y las bes, verás que la suma de los diez términos es 55a + 88b. Pero fíjate en el séptimo termino de la serie: es 5a + 8b, luego la suma total es igual al séptimo término multiplicado por 11, puesto que 11 (5a + 8b) = 55a + 88b. Y multiplicar un número de dos cifras por 11 es muy fácil: sumas esas dos cifras y el resultado lo pones en medio; en este caso, 36 x 11 = 396, ya que 3 + 6 = 9.

—Ya lo veo —dijo Alicia—. Para hallar la suma de cualquier lista de este tipo, no tengo más que fijarme en el séptimo número, que es el cuarto empezando por abajo, y lo multiplico por 11.
—Muy bien. Y ahora, un espectacular truco de adivinación matemágica. Piensa un número de tres cifras —dijo el anciano dándole la espalda.
—Ya está.
—Dilo en voz muy baja para que yo no pueda oírlo.
La niña susurró «236»; un hilillo de humo rojo salió de su boca y formó en el aire el número con un trazo muy fino.
— ¿Y ahora?
— Repite el mismo número.

Alicia volvió a susurrar «236», y las tres cifras se juntaron a las anteriores para formar el número 236.236.

—Ya está.
—Ahora divide por 7 ese número de seis cifras. Hazlo en voz muy baja, para que yo no te oiga.

La niña musitó para sí la división, que fue realizándose en el aire a medida que iba nombrando los números y las operaciones. Al final obtuvo 33.748 como cociente exacto.

—Ya he terminado. Menos mal que acabo de aprenderme la tabla del 7...
—Ahora divide el resultado por 11.

Alicia dividió 33.748 por 11 y obtuvo 3.068.

— ¡Vuelve a dar exacto! —exclamó sorprendida.
—Y ahora divide el resultado por 13.
—Es asombroso —dijo la niña al terminar la división—, da...
—El número que habías pensado —concluyó el matemago volviéndose. Y, efectivamente, en el aire flotaba un fino y luminoso 236.
— ¿Cómo podías saberlo de antemano?
—Muy sencillo: escribir dos veces seguidas un número de tres cifras equivale a multiplicarlo por 1.001. Y 7 x 11 x 13= 1.001. Si primero multiplicas un número por 1.001 y luego lo divides por 1.001...
—Se queda igual —concluyó Alicia.
—Exacto. Un truco muy sencillo, pero de gran efecto. Te divertirás haciéndoselo a tus amigos.
—Ya lo creo. Y los otros también molan. Seguro que mi profe de mates no los conoce. Me vengaré de él haciéndoselos en clase.
—Ahora ya eres una pequeña matemaga —dijo el anciano, poniéndole su cucurucho en la cabeza—. Siéntate en el trono.

Alicia se sentó, y cuando el matemago le depositó el libro en el regazo reconoció su enigmática sonrisa.

— ¡Eres Charlie! —exclamó.

La túnica y la barba blanca se disolvieron en el aire y ante ella apareció Lewis Carroll con su melancólico y anticuado aspecto anterior.

—Sí. La matemagia es una de mis mayores aficiones, y a veces me disfrazo para crear un poco de ambiente. Pero eres muy observadora y me has descubierto. Ya puedes despertar.
— ¿Despertar?
—Sí —dijo Charlie, mirándola con ternura y apoyándole una mano en el hombro—.

Despierta.

Texto Completo

sábado, 15 de abril de 2017

Contactar


Institución Educativa Académico


Especialista
Francisco J. Bermúdez P.
Docente de Educación Básica

317 48 53 054

Sistematicemos@hotmail.com
fbermudezpedroza@gmail.com

viernes, 14 de abril de 2017

Mascota y Matemática

El proyecto se socializó en los grados Octavo y noveno de la Institución educativa Académico. El proyecto se planeó para la asignatura de FORTALECIMIENTO MATEMÁTICO. Para una intensidad semanal de dos horas semanales.

Se nombraron dos Coordinadores del proyecto, los cuales se les entregó dos funciones básicas:

a.- Responder por la Integridad del Conejo. Programar la rotación del conejo entre los diversos estudiantes Para lo cual se diseñó el formato KARDEX DEL CONEJO.

b.- Ser puentes entre Estudiantes y profesor.

A los estudiantes en mención se les entregó una carpeta con información básica del proyecto. En la cual paulatinamente se compilarían todas las actividades.

Adoptar un Conejo

Pero.. se preguntaran algunos: 

¿Qué relación se puede establecer entre un conejo y la matemática?

Para ofrecer una primera aproximación a la pregunta, se diseñó un formato en MicroSoft Word que se bautizó como REGISTRO CUNICULA


Semanalmente se realizó un Control de talla y peso del animal, el cual era consignado por los estudiantes en sus respectivos Registros.

 El pesaje se realizó inicialmente con ayuda de la balanza de la enfermería de la institución. Luego para reducir los margenes de error se consiguió una Gramera. Instrumentos de medición y unidades de medida, metro, reglas, gramera, centímetros, gramos, kilogramos, fueron conceptos que se volvieron de uso permanente. Esto como consecuencia una indagación básica de los Sistemas de Medición.

Por otro lado, la información recopilada será empleada para realizar actividades Estadísticas tanto manuales como con ayuda del Computador, mediante el uso del Software de Excell.


Para el segundo periodo se tienen previstas varias actividades que se resumen en:

a.- Diseñar una ecuación lineal de Consumo de Concentrados.

b.- Diseñar un modelo matemático que de fe del proceso de Reproducción de los Conejos.

Esta actividad permitirá abordar la

Serie de Fibonacci.

Las Abejas y las Matemáticas

¿Saben matemáticas las abejas?

Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver arios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. 

¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. No obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición "mayor número de lados y adyacencia sin huecos", es el hexágono. Aunque para las abejas esto es verdad desde su nacimiento. A ello se debe que las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?...

Analicemos, brevemente, el comportamiento de algunos polígonos. Con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares podremos enlosar una superficie.

Triángulo........................Cuadrado......................Hexágono

Lado = 4 u .....................Lado = 3 u....................Lado= 2 u
Perím. = 12 u.................Perím. = 12 u..............Perím. = 12 u
Área = 6,928 ..................Área = 9 .....................Área = 10,392

Con el mismo perímetro la mayor superficie se recubre con un hexágono

"Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material." Pappus de Alejandría

Concepción Epistemológica de la Matemática

LA REVOLUCIÓN DE LA CIENCIA DE EUGENIO DÜHRING. ("ANTI-DÜHRING"). 1878.

Autor: Ingeniero - Especialista Francisco Jairo Bermúdez Pedroza

En la segunda mitad del siglo XIX, Federico Engels, pensador alemán, sostuvo una polémica Académica con Eugenio DÜHRING. El centro de la controversia giraba en torno a las concepciones diametralmente opuesta de uno y otro en relación con diversos temas relacionados con la Naturaleza, la Sociedad y el pensamiento Humano. Uno de los temas en conflicto lo era la Gnoseología o teoría del Conocimiento.

La controversia quedó plasmada en el libro  LA REVOLUCIÓN DE LA CIENCIA DE EUGENIO DÜHRING ("ANTI-DÜHRING"). El capítulo III que aborda el tema del APRIORISMO, es una exposición clara y precisa de la Concepción Epistemológica del Materialismo Dialéctico aplicado a la Ciencia de la Matemática.

Para los profesores es muy importante definir con precisión en que orilla nos encontramos en este terreno de la Epistemología, ya que de esto depende nuestra práctica PEDAGÓGICA.

Por esta razón he tomado la decisión de citar textualmente varios párrafos de esa exposición. Aspiro y espero que estas reflexiones de Federico Engels ofrezcan luces importantes en relación con el mundo de la Matemática. Su Comprensión nos permite abordar el camino de la ENSEÑANZA y el APRENDIZAJE Matemático de una manera mucho mas clara, coherente, SIGNIFICATIVA.

"Los conceptos de número y figura no han sido tomados sino del mundo real. Los diez dedos con los cuales los hombres han aprendido a contar, a realizar la primera operación aritmética, no son ni mucho menos una libre creación del entendimiento. Para contar hacen falta no sólo objetos contables, enumerables, sino también la capacidad de prescindir, al considerar esos objetos, de todas sus demás cualidades que no sean el número, y esta capacidad es resultado de una larga evolución histórica y de experiencia. También el concepto de figura, igual que el de número, está tomado exclusivamente del mundo externo, y no ha nacido en la cabeza, del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran figura y cuyas figuras fueran comparadas, antes de que se pudiera llegar al concepto de figura. La matemática pura tiene como objeto las formas especiales y las relaciones cuantitativas del mundo real, es decir, una materia muy real. El hecho de que esa materia aparece en la matemática de un modo sumamente abstracto no puede ocultar sino superficialmente su origen en el mundo externo. Para poder estudiar esas formas y relaciones en toda su pureza hay, empero, que separarlas totalmente de su contenido, poner éste aparte como indiferente; así se consiguen los puntos sin dimensiones, las líneas sin grosor ni anchura, las a y b y las x e y, las constantes y las variables, y se llega al final, efectivamente, a las propias y libres creaciones e imaginaciones del entendimiento, a saber, a las magnitudes imaginarias. Tampoco la aparente derivación de las magnitudes matemáticas unas de otras prueba su origen apriórico, sino sólo su conexión racional. Antes de que se llegara a la idea de derivar la forma de un cilindro de la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados ha habido que estudiar gran número de rectángulos y cilindros reales, aunque de forma muy imperfecta. Como todas las demás ciencias, la matemática ha nacido de las necesidades de los hombres: de la medición de tierras y capacidades de los recipientes, de la medición del tiempo y de la mecánica. Pero, como en todos los ámbitos del pensamiento, al llegar a cierto nivel de evolución se separan del mundo real las leyes abstraídas del mismo, se le contraponen como algo independiente, como leyes que le llegaran de afuera y según las cuales tiene que disponerse el mundo. Así ha ocurrido en la sociedad y en el  Estado, y así precisamente se aplica luego al mundo la matemática pura, aunque ha sido tomada sencillamente de ese mundo y no representa más que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable. Pero el señor Dühring, lo mismo que se imagina deducir de los axiomas matemáticos, los cuales no pueden tener ni necesitan fundamentación, ni siquiera según la representación lógica pura, toda la matemática pura sin ningún añadido empírico y luego poder aplicarla al mundo, así también se imagina que puede engendrar por de pronto en su cabeza las configuraciones básicas del ser, los elementos simples de todo saber, los axiomas de la filosofía, deducir luego de ellos la filosofía entera, o esquematismo universal, y conceder finalmente por supremo decreto esa constitución a la naturaleza y al mundo humano. Pero, desgraciadamente, la naturaleza no es en absoluto, y el mundo humano lo es en escasísima medida, como los prusianos de Manteuffel de 1850.[9]

Los axiomas matemáticos son expresión de los rudimentarios contenidos de pensamiento que la matemática tiene que pedir a la lógica. Esos contenidos pueden reducirse a dos:

1. El todo es mayor que la parte. Esta proposición es una mera tautología, pues la represcntación "parte", concebida cuantitativamente, se refiere ya desde su origen de un modo determinado a la representación "todo", a saber, de tal modo que "parte" significa sin más que el "todo" cuantitativo consta de varias "partes" cuantitativas'. Los llamados axiomas no hacen más que formular eso explícitamente, con lo que no avanzamos ningún paso. Y hasta es posible probar en cierto sentido esa tautología diciendo: un todo es aquello que consta de varias partes; una parte es aquella entidad que, con otras, constituye un todo; consecuentemente, la parte es menor que el todo; la vaciedad de la repetición subraya aun entonces la vaciedad del contenido.

2. Si dos magnitudes son iguales a una tercera, son iguales entre sí. Este enunciado, como mostró ya Hegel, es una inferencia garantizada por la lógica, es decir, un enunciado demostrado, aunque fuera de la matemática pura. Los demás axiomas sobre la igualdad y la desigualdad son meras ampliaciones lógicas de esa inferencia.

Estos enunciados tan pobres de contenido no tienen por sí mismos ningún atractivo ni en la matemática ni en ningún otro campo. Para poder avanzar tenemos que añadirles contenidos reales, relaciones y formas espaciales tomadas de cuerpos reales. Las representaciones de líneas, superficies, ángulos, polígonos, cubos, esferas, etc., proceden todas de la realidad, y hace falta una buena porción de ingenua ideología para creer la exposición de los matemáticos, según la cual la primera línea ha surgido por el movimiento de un punto en el espacio, la primera superficie por el movimiento de una línea, el primer cuerpo por el movimiento de una superficie, etc. Ya el lenguaje mismo se subleva contra ese uso. Una figura matemática de tres dimensiones se llama cuerpo, corpus solidum, en latín, es dccir, cuerpo tangible: su nombre mismo no procede de la libre imaginación del entendimiento, sino de la sólida realidad.

Pero ¿por qué perder tanto tiempo en esto? Luego de haber cantado con entusiasmo en las páginas 42 y 43 de su obra la independencia de la matemática pura respecto del mundo experiencial, su aprioridad, su dedicación a las libres creaciones e imaginaciones del entendimiento, el señor Dühring dice en la página 63:

"A menudo se pasa por alto, en efecto, que esos elementos matemáticos ["número, magnitud, tiempo, espacio y movimiento geométrico"] no son ideales más que por su forma... mientras que las magnitudes absolutas son algo plenamente empírico, cualquiera que sea el género a que pertenecen"..., pero "los esquemas matemáticos son susceptibles de una caracterización aislada de la experiencia y, sin embargo, suficiente". Lo cual, ciertamente, es en mayor o menor medida verdad de toda abstracción, pero no prueba en absoluto que la abstracción no proceda de la realidad. En el esquematismo universal la matemática pura nace del pensamiento puro; en la filosofía de la naturaleza es en cambio algo plenamente empírico, tomado del mundo externo y luego aislado de él. ¿En qué vamos a quedar?".

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EPISTEMOLOGÍA para Principiantes

ANTI-DÜHRING de FEDERICO ENGELS